数学分析原理的级数部分定义了级数（Series）及其求和方式。给定序列，使用符号表示序列的求和。对于，同样使用符号。序列与级数关联，而被称为级数的部分和。如果收敛于，则称级数收敛，表示为。级数的和被称为级数的总和，但需要明确理解是序列求和的极限，而非通过直接相加得到。

当发散，级数被称为发散。柯西准则（定理3.11）可以表述为：级数收敛当且仅当对于任意，存在整数，使得成立。具体地，通过取，得到。定理3.23指出：如果收敛，则趋于0。定理3.24说明：非负项级数收敛当且仅当其部分和形成有界的序列。定理3.25提出了收敛比较判别法：如果对于成立，且收敛，则收敛；若发散，且也发散。

非负项级数的定理3.26表明：如果，则收敛；若，则发散。定理3.27提供了柯西准则判别方式：如果，则级数收敛当且仅当级数收敛。定理3.28讨论了p级数，其中收敛当且仅当；定理3.29涉及对数级数，若，则收敛；若，则发散。

自然底数（）的定义（定理3.30）为：。定理3.31说明了的性质；定理3.32证明了是无理数。

根式判别法（定理3.33）和比值判别法（定理3.34）提供了级数收敛性的判断手段。根式判别法根据确定级数收敛性，而比值判别法则需要计算的值以判断级数的收敛或发散。

幂级数（定理3.38）定义为由复数序列构成的级数。系数和复数是幂级数的组成部分。定理3.39提供了幂级数收敛半径的计算方法。示例（3.40）展示了如何应用这些理论。