原题应为

m*n矩阵的秩为1的充要条件是有m个不全为零的a(1),..,a(M)和n个b(1),...,b(N),使得对任意为i=1,2,..,M,j=1,2,...,N有a(ij)=a(i)*b(j).

证明 充分性,对任意确定的i,j,由

a(ik)=a(i)*b(k),a(jk)=a(j)*b(k),k=1,2,...,N

a(j)*a(ik)=a(i)*a(j)*b(k)=a(i)*a(jk),k=1,2,...,N

矩阵的第i行与第j行线性相关,由i,j的任意性,矩阵的任意两行均线性相关,故矩阵的秩小于2,由a(1),..,a(M)和n个b(1),...,b(N)不全为零,矩阵至少有1行不全为零,故矩阵的秩为1.

必要性 矩阵的秩为1,至少矩阵有一行不全为零,设b(1),..,b(N)是矩阵不全为零的行,由矩阵的秩为1,故矩阵的任意行(包括该行)均能被该行线性表出,设矩阵的第i行(i=1,2,...,M)等于该行的a(i)倍,则矩阵的第i行的元素为a(i)*b(1),..,a(i)*b(N),此时存在m个不全为零的a(1),..,a(M)和n个b(1),...,b(N),有a(ij)=a(i)*b(j).