好吧，以下用a,b代表数量场函数，X，Y代表矢量场函数......(哎，其实楼主规定的这符号很别扭的，囧)

求微分：

数量与矢量乘积

d(aX)=Xda+adX

d(X/a)=d((1/a)X)……你懂的。

点乘与叉乘

d(X·Y)=Y·dX+X·dY

d(X×Y)=Y×dX+X×dY

意思就是，矢量的微分依然是矢量。矢量乘积的微分就可以完全地用数量微分类比过去，但要注意两种乘法不要混淆。因为矢量可以在某一个基底上分解，矢量函数分解后就是数量函数。

就像通常说的，x(t)i+y(t)j+z(t)k （j,j,k是直角坐标系下的单位正交基底）

求积分：

比如说X在直角坐标系（i,j,k）下有三个分量x,y,z，都是t的数量函数，a也是t的函数(我的天啊，这符号乱得~~)

那么，

∫aXdt=∫a(t)[x(t)i+y(t)j+z(t)k]dt

=∫[a(t)x(t)i+a(t)y(t)j+a(t)z(t)k]dt

=∫a(t)x(t)dti+∫a(t)y(t)dtj+∫a(t)z(t)dtk

这样，就完全地把矢量积分变换成数量函数的积分了。

还有，如果不是对相同变量t进行的积分，（比如说曲线曲面积分什么的）或者说在非直角坐标系（比如柱坐标、球坐标）……那是个很恶心的问题…………

再一个还有，其实矢量场数量场求导也不止一个d，那么简单，（恶心的各种算子--|||）

这种东西，貌似老师都不会系统讲吧，都是自己……哎哎，谁让咱学这个呢

可以去图书馆借本《矢算场论》，那书详细甚至罗嗦，从矢量定义一直讲到张量分析，挺不错的

我是物理专业的，我们好像对这个要求比较高吧，不知道你们物理课的难度咋样。如果以上什么还算够用的话就先凑活着，后来会有一本《数理方程》的……那时也会讲点矢量分析的。

最后感叹下我们物理学生真苦命啊、什么数学素质过硬都是逼出来的啊，数学不讲就直接用啊、有木有！！！！！！！！！