x+y+3z=0和x-y-z=0其实都是两个平面。向量(1,1,3)和(1,-1,-1)是这两个平面的法向量（即平面内任意向量和平面法向量都垂直，点积为零）。计算过错其实就是在求向量叉乘，而叉乘结果和被乘向量和乘向量都垂直。这样一来，叉乘结果因为和法向量(1,1,3)垂直，所以位于平面x+y+3z=0上，又因为和法向量(1,-1,-1)垂直，所以也位于平面x-y-z=0上，也就是说结果同时属于两个平面，根据空间几何原理，两平面决定一条直线。

对于直线而言，直线的向量表示是它的方向向量，因为直线没有法向量，硬说的话应当叫做“法平面”，也即平面和直线垂直+直线和平面垂直。利用直线的垂线在空间中无法完全定位一条直线而只能定位一系列平行平面，利用平面的垂面也只能定位到过同一条直线的一族平面而无法完全定位一个平面。