根据天水市秦州区教育局网站上的信息，天水市秦州区红山路新华门小学的报名程序如下：

1、登录天水市教育信息化管理系统。

2、进入系统后，选择“电子服务大厅”>“教育招生”>“小学招生”>“新生报名”选项。

3、按照系统提示，填写相关信息，包括学生基本信息、家长联系方式等，并上传相关证明材料。

4、提交报名申请后，等待学校审核。

5、审核通过后，家长需前往学校办理相关手续，包括签署入学协议、缴纳学费等。