首先命题等价于: 在[-π,π]可积的2π周期函数f(x), Fourier系数全为0的充要条件是∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.

充分性很容易: 0 ≤ |∫{-π,π} f(x)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.

0 ≤ |∫{-π,π} f(x)sin(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|sin(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.

0 ≤ |∫{-π,π} f(x)cos(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|cos(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.

故所有Fourier系数全为0.

必要性用Parseval恒等式: 由f(x)在[-π,π]可积, |f(x)|²也在[-π,π]可积.

并成立Parseval恒等式: ∫{-π,π} |f(x)|²dx = |a0|²+∑{1 ≤ n} (|an|²+|bn|²).

由f(x)的Fourier系数全为0, 可知∫{-π,π} |f(x)|²dx = 0.

再由Cauchy不等式: (∫{-π,π} |f(x)|dx)² ≤ (∫{-π,π} |f(x)|²dx)·(∫{-π,π} 1²dx) = 0.

即得∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.