分管各乡镇教管办的部门是市教育局。教育局作为上级教育主管部门，负责对辖区内各级学校的管理和监督，通过分管各乡镇教管办，教育局可以实现对乡镇教育事务的协调统一管理，确保教育政策和要求在各个乡镇的学校中得以贯彻执行。