人力资源和社会保障部门。木工证作为一种职业技能证书，通常在人力资源和社会保障部门进行办理。根据《人力资源和社会保障部门职能规定》第二十一条，人力资源和社会保障部门负责组织实施职业技能资格制度，指导和监督职业技能资格考试和证书发放工作。