甘肃银行能办兰州银行卡。根据相关公开信息查询得知甘肃省的医保卡是兰州银行编发的，所以甘肃银行能办兰州银行卡。甘肃银行是经中国银行业监督管理委员会批准，通过合并重组原平凉市商业银行和原白银市商业银行，联合其他发起人共同设立的，由甘肃省政府直接管理的省级法人股份制商业银行。于2011年11月19日正式挂牌开业。