1. 对于实矩阵[公式]，若[公式]，则称[公式]是规范矩阵。规范矩阵具有特定的标准型。2. 公共特征向量问题：若[公式]是两个[公式]阶复矩阵，则它们存在公共特征向量。证明：考虑线性变换的版本，设[公式]与[公式]是[公式]维复向量空间[公式]上的两个线性变换，且[公式]，则[公式]存在公共的特征向量。取[公式]的一个特征值[公式]，对应的特征子空间为[公式]。对任意的[公式]，有

[公式]

因此[公式]是[公式]的不变子空间。由于[公式]是复向量空间，存在特征值[公式]，对应的特征向量为[公式]，则[公式]。从而[公式]是[公式]的公共特征向量。

3. 设[公式]是规范矩阵，若[公式]是[公式]对应特征值[公式]的特征向量，则[公式]是[公式]对应特征值[公式]的特征向量。证明：首先有[公式]，则

[公式]

从而[公式]，即得[公式]

4. 设[公式]是规范矩阵，并且[公式]是属于特征值[公式]的特征向量，其中[公式]是实向量，[公式]是实数且[公式]，则[公式]与[公式]正交且范数相等。证明：由[公式]是属于特征值[公式]的特征向量，则[公式]。再由第4题知[公式]是[公式]对应特征值[公式]的特征向量，则[公式]。从而[公式]即得[公式]，故[公式]与[公式]正交且范数相等。

5. 设[公式]是两个[公式]阶规范矩阵，并且[公式]，则存在正交矩阵[公式]使得[公式]同时为标准型。证明：当[公式]时，结论显然成立。假设结论对小于[公式]成立，对[公式]的情况，由第3题知[公式]存在公共特征向量[公式](因为实矩阵可以看成复矩阵)。并且[公式]

[公式][公式]

记[公式]。则

[公式]

容易验证[公式]仍是规范矩阵并且[公式]可交换，而[公式]是[公式]阶矩阵，则由归纳假设知存在[公式]阶正交矩阵[公式]，使得[公式]是标准型，则取正交矩阵[公式]，此时[公式]同时为标准型。

6. 故[公式]，同样[公式]，取[公式]的标准正交基[公式]则[公式]是[公式]的标准正交基，记[公式]。则

[公式][公式]

容易验证[公式]是规范矩阵且可交换，则由归纳假设知存在[公式]阶正交矩阵[公式]，使得[公式]是标准型。则取正交矩阵[公式]，此时[公式]同时为标准型。

综上，由归纳法知结论成立。