校外培训机构非法办舞蹈班的监管责任主要由政府部门承担。政府部门负责监管和管理教育培训行业，包括校外培训机构。他们制定相关法规和政策，对校外培训机构进行注册、审批和监督，确保其合法经营和教学质量。教育行政部门、文化和体育部门以及公安机关等也会参与监管工作，共同维护教育培训市场的正常秩序。

这些部门会加强对校外培训机构的巡查和检查，对发现的非法办学行为进行处罚和整改，保障学生的合法权益。中国政府认识到教育培训市场的监管是一项重要任务，因此会加强对校外培训机构的监管力度，加强对教育培训市场的规范化管理，提高教育培训行业的整体质量水平，保障学生的安全和权益。

家长和学生也应该提高警惕，选择合法、规范的校外培训机构，避免受到非法办学的影响。为了确保学生接受到高质量的教育，家长们应仔细检查培训机构的资质，查看其是否有合法的营业执照和教育部门的审批。学生们在选择舞蹈班时，也应该关注培训机构的教学环境、师资力量以及教学设施等。

此外，政府还应进一步完善相关法律法规，明确各部门在教育培训市场中的职责，加强跨部门协作，形成监管合力。同时，鼓励社会各界参与监督，形成全社会共同维护教育培训市场秩序的良好氛围。

通过加强监管和提高行业规范，可以有效减少非法办学现象，保护学生的合法权益，促进教育培训行业的健康发展。