首先，局长对甲某做出降职处理违反法律规定，公务员降职是必须办理一定程序的，第一要由所在单位提出降职安排意见，主要包括降职理由和降职安排去向，第二要在上报之前征求本人意见，第三要报任免机关审批。局长没有直接下达降职命令的权力，且没有履行手续，这是不对的。

其次，甲某进行申诉是可以的，但是一般程序是应先申请复核（到原处理机关），复核不服，再申诉（同级公务员主管部门或上一级机关）。当然也包括径直程序即不服之后直接申诉到同级公务员主管部门或上一级机关。所以甲某的行为是直接采取了第二种径直程序，符合公务员法的要求。

最后，F 市人事局的决定不符合法律要求。他有权受理该项申诉，在适用程序上，甲某并没有错误。