海南的快递业务在超强台风“摩羯”过境后，已经基本恢复运营。

首先，从时间线来看，超强台风“摩羯”对海南省造成了显著影响，其中包括对邮政快递业的冲击。然而，海南省邮政管理局在灾后迅速组织全省系统行业进行恢复工作，这体现了应对自然灾害的高效性和专业性。据南海网的报道，截至9月10日，除受灾严重的个别乡镇外，全省邮政快递业已基本恢复运营。这一时间点明确地回答了海南快递恢复运营的时间。

其次，在解释快递恢复运营的过程中，我们可以深入了解背后的努力和措施。海南省邮政管理局不仅关注行业的复工复产，还动员指导寄递企业积极参与灾后重建的物资运输保障工作。这种全方位的恢复策略，旨在助力海南尽快恢复正常生产生活秩序和经济社会发展。通过这些措施，我们可以看到相关部门在应对自然灾害、保障民生需求方面的决心和能力。

最后，需要注意的是，尽管全省邮政快递业已基本恢复运营，但在受灾严重的个别乡镇，由于停电、通信不畅等因素影响，恢复寄递服务可能仍面临一定的挑战。对此，海南省邮政管理局已指导企业妥善应对，并提醒广大消费者对可能出现的邮件快件延误给予理解。这种公开透明的态度，有助于增强公众对快递恢复工作的理解和支持。

综上所述，海南的快递业务在超强台风“摩羯”过境后，经过相关部门的迅速组织和有效措施，已经基本恢复运营。这一恢复过程不仅体现了应对自然灾害的能力，也展示了保障民生需求、推动经济社会发展的决心。