完备化空间的概念源于度量空间的完备性，旨在构建一个包含原空间的完备度量空间。通过这一过程，原度量空间成为新空间的稠密子空间。完备化空间具备普适性质，即若存在一个从原空间到任一完备度量空间的一致连续函数，则存在唯一的从完备化空间到该空间的一致连续函数作为原函数的扩展。这使得新空间在等距同构意义下由其性质唯一决定，称为原空间的完备化空间。

在更广泛的数学领域中，例如交换环及于其上的模，也存在对完备性的定义与完备化过程。具体操作类似从有理数域出发定义无理数的方法，通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。对于任意两个柯西序列x=(xn) 和 y=(yn)，定义其间的距离为d(x,y) = limn d(xn,yn)。此定义在实数域完备性下确保极限存在，但需通过等价类集合的构造进一步定义度量，确保完备化空间的唯一性与等价。

康托法构造实数是完备化方法的一个特例，实数域通过有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间得以形成。这一过程实质上是对有理数域进行完备化，使得所有有理数序列都具有极限，进而构建出实数集。

若将完备化流程应用于赋范向量空间，结果为巴拿赫空间，原空间成为其中的稠密子空间。在内积空间上的应用则得到希尔伯特空间，原空间同样作为稠密子空间存在。这一过程使得空间具备完备性，增强了其在数学分析与理论物理中的应用价值。

扩展资料

完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。以有限维空间来说，向量的范数相当于向量的模的长度。但是在有限维欧式空间中还有一个很重要的概念—向量的夹角，特别是两个向量的正交。内积空间是特殊的线性赋范空间，在这类空间中可以引入正交的概念以及投影的概念，从而在内积空间中建立起相应的几何学。用内积导出的范数来定义距离，Banach空间就成为了希尔伯特空间。